一支棒棒糖教我的幾何

地理教室裡那顆地球儀，軸是斜的，表面有山有海。可是它的扁——赤道比兩極寬那一點——你完全看不出來。轉一圈，它看起來就是一顆球。

朋友問我：一顆完美的球形棒棒糖，能不能只靠舔，變成地球的形狀？

我當場給了一個很快、也很錯的答案：算出要少掉多少體積，除以一口舔掉多少，完了。這個答案錯得很安靜，我過了好一陣子才發現。

先把模型講清楚。球面固定不動，每一次移除可以直接相加，沒有口水。真正的糖會溶，舌頭是溫的、濕的，形狀在你動手的同時就在變。這篇以下講的，是一顆不管這些事的球。

三個問題，一個一個來：要舔掉多少、該舔在哪裡，還有——如果一口留下的是一道細長的痕，而不是一個圓點——那道痕該朝哪邊。第一題是算術。第二題難一點。第三題才是這篇存在的理由，而我一開始根本沒看見它。

舔掉多少，和舔在哪裡

橢球的扁率是赤道半徑與極半徑之差，除以赤道半徑：

$$f=\frac{a_E-b_E}{a_E}.$$

WGS84 是手機定位用的地球模型，它給的反扁率是 298.257223563，也就是 $f=0.0033528$。若棒棒糖半徑 $R_0=20$ 公釐，兩極要凹進去 67 微米，大約一張紙的厚度。赤道不動，兩極按這個比例縮，要移掉的體積是

$$\Delta V=\frac{4\pi}{3}R_0^3f \approx 112\ \text{mm}^3,$$

也就是整顆 33.5 立方公分的糖的 0.34%。

這就是我那個很快的答案。它對，可是對的是另一個問題。一罐油漆知道自己有幾公升，卻不知道要畫什麼。

均勻地舔，只會得到一顆小一點的球。赤道舔得比兩極多，糖就變成橄欖球，方向整個反了。真正要的是一個「移除場」：球面上每一點，各該凹多深。

以北極向下量的角度作餘緯 $\theta$。把 $f$ 當小量展開，第一階的目標是

$$\delta_\star(\theta)=R_0f\cos^2\theta.$$

代兩個端點就懂了。北極 $\cos^2\theta=1$，整整 67 微米都要拿走；赤道是零，一口都不用。體積那個算式聽不見的問題，幾何一句話就答了。¹

先講傅科擺

這一步得先繞開棒棒糖。

一八五一年，Foucault 在巴黎萬神殿掛了一條 67 公尺長的擺線，下面吊一顆 28 公斤的鐵球。擺一擺開，擺動的平面就慢慢轉。在緯度 $\varphi$ 的地方，它每天相對地面轉 $360^\circ\sin\varphi$。巴黎大約 49 度，一天轉兩百七十幾度。

為什麼會轉呢？因為擺動方向沿著緯線被地球帶著走，而它自己不主動左右扭。這個「不主動扭」，數學上叫平行移動（parallel transport）。在單位球上，方程短得幾乎不像方程：

$$\dot v=-(v\cdot\dot x)x.$$

箭頭的改變只朝法線，切平面裡一點多餘的扭轉也沒有。把 $v\cdot x$ 微分，就知道箭頭一直貼著球面；把 $v\cdot v$ 微分，就知道長度不變。

現在讓一支箭頭沿一條緯線走完整一圈。回到原地，它通常已經轉了。餘緯 $\theta_0$ 的緯線，轉角是

$$\psi=2\pi(1-\cos\theta_0)\pmod{2\pi},$$

正好等於這條緯線圍住的球冠面積，這是 Gauss–Bonnet 的一個具體結果。餘緯 45° 時，轉 105.4416°，寫成弧度是 1.840302369021。十二位數字不是炫耀，那是抓積分器臭蟲最便宜的辦法，也是世上唯一會有人印十二位數的理由。

有件事我想了很久才想通：擺的 $360^\circ\cos\varphi$ 和幾何的 $360^\circ(1-\cos\theta)$，兩個加起來剛好一整圈。不是巧合。擺相對地面轉多少，就是地球轉的一圈，扣掉平行移動偷走的那一份。Foucault 量到的是餘額。

「不主動扭」是對每一小步說的，不是對整趟路說的。每一步都筆直，合起來卻接不回去。這就是曲率。

張海潮在《數學傳播》上寫過 Foucault 和 Levi-Civita 這條線。倒是他順手記下的一件事更妙：他的同事早就告訴他兩者的關聯，可是力學的書不提 Levi-Civita，微分幾何的書也不提 Foucault，文獻上一直看不到。

一口舔痕要記多少東西呢？

回到糖上。

如果接觸痕是圓的，記中心和大小就夠了。圓轉任何角度都一樣。把圓拉成橢圓，事情就變了：同一個中心、同一對長短軸，躺成南北向和躺成東西向，舔掉的不是同一塊糖。一個球面座標，已經不夠描述你舔了哪裡。

在接觸點貼上兩支互相垂直的小箭頭，一支沿長軸，一支沿短軸。兩支都躺在糖的表面上，沒有一支戳進去；數學上叫切向量（tangent vector）。再配上向外的法向量，三支合起來就是一個三維旋轉：

$$R=[e_1\ e_2\ x]\in\operatorname{SO}(3).$$

最後一欄是你在哪，前兩欄是舔痕朝哪。定向正交標架叢（oriented orthonormal frame bundle）聽起來嚇人，其實不過是「球面上每一點，加上所有能貼在那裡的兩支垂直箭頭」罷了。把箭頭擦掉只留位置，很多標架就塌成同一點：

$$S^2\cong\operatorname{SO}(3)/\operatorname{SO}(2).$$

這裡我記多了。橢圓轉 180° 還是同一個橢圓，標架卻分得出這兩個狀態。這一手不乾淨，可是平行移動剛好是作用在標架上，寫下來最省事，所以我留著。

舔痕本身：中心最重，向外淡出，再拉成橢圓。用對數映射（logarithm map）把接觸點附近攤到切平面，在極座標 $(r,\phi)$ 裡寫成

$$K(r,\phi)=\frac{\chi(r)}{Z_{a,b}} \exp\left[-\frac{r^2}{2}\big(a+b\cos2\phi\big)\right], \qquad a>|b|.$$

參數不用算積分就讀得出來。$a$ 管平均寬窄，$b$ 管兩邊差多少。$b=0$ 時痕是圓的，方向完全不相干；$|b|$ 越大，痕越長越扁，對轉角越敏感。全文都取 $a=16$、$r_c=1.2$，所以痕的寬度是 $1/\sqrt{a}=0.25$ 弧度，在 20 公釐的糖上是 5 公釐的弧長。差不多就是一條舌頭。

$\chi$ 是平滑截斷，把核函數關在一頂小帽子裡：

$$\chi(r)=\exp\left[-\frac{r^2}{r_c^2-r^2}\right]\quad (r<r_c),$$

帽子外面是零。之所以要它，是因為對數映射在正對面那一點對方向沒有意見；與其跟對映點糾纏，數學上就乾脆截掉。這是個補丁。我一直不喜歡它。$Z_{a,b}$ 把每個核在球面上的積分歸一成 1，用的是球面面積元 $dA=\sin r\,dr\,d\phi$，不是平面的那個。

到這裡，要寫下「舔痕被轉了以後會怎樣」的材料都齊了。

轉了一圈，差多少？

角度還不是後果。圓形的舔痕隨你怎麼轉，舔掉的糖一模一樣；也就是說，我辛苦算出來的那個轉角，換錯了痕，可以完全看不見。那麼，兩個舔痕究竟差多少呢？

把原來留下的痕記作 $K$，現在會留下的記作 $K_\psi$，同一個中心，逐點取差、平方，對整個球面加起來：

$$D_\psi^2=\int_{S^2}(K-K_\psi)^2\,dA.$$

直接算這個二維積分不漂亮。不過，旋轉不改變核的大小，所以先算重疊 $C(\psi)=\int_{S^2}KK_\psi\,dA$ 就夠了：$D_\psi^2=2(C(0)-C(\psi))$。兩個鐘形曲線相乘，指數裡就出現兩個餘弦，而它們會併起來：

$$\cos(2\phi)+\cos(2\phi-2\psi)=2\cos\psi\cos(2\phi-\psi).$$

$e^{-u\cos\alpha}$ 的角度平均是零階修正貝塞爾函數 $I_0(u)$。於是一個二維曲面積分，塌成一個只沿半徑走的積分：

$$D_\psi^2=\frac{4\pi}{Z_{a,b}^2} \int_0^{r_c}\chi(r)^2e^{-ar^2} \left[I_0(br^2)-I_0(br^2\cos\psi)\right]\sin r\,dr.$$

公式就在這裡。先看它一會兒，再聽我說裡面有什麼。

$I_0$ 是偶函數，而且隨自變數的大小遞增。所以轉 0° 或 180° 時 $D_\psi$ 是零，轉 90° 時最大，$|b|$ 越大差越多。照這樣讀下來，結論很清楚：最糟的路徑就是和樂最大的那一條。繞一圈大的，回來轉得最兇，痕就錯得最厲害。

餘緯 60° 例外。

60° 的球冠面積剛好是 $\pi$，標架整整轉了半圈，能轉的都轉到底了。可是舔痕一模一樣——橢圓轉 180°，兩條軸各自反向，橢圓分不出來。我有一個下午都以為積分寫壞了。沒有壞。幾何走到極限，能量上什麼也沒發生：無功而返。

這個 180° 的例外會不會有更一般的版本，我不知道，也沒在任何地方看到有人寫過。

沿一條緯線走一圈

把舔痕帶著繞球一圈，回來就轉了

105.4°

手不刻意扭轉，讓接觸沿緯線走一整圈。回到原地，它卻指向別的方向。右邊那條曲線，是你原先留下的痕與現在會留下的痕之間的精確差距。

路徑餘緯: 45°貼著北極赤道伸長程度: 0.45正圓又長又扁

標架轉角105.44°

看得見的轉角（模 180°）105.44°

相對差距0.3968

要壓住方向得扭多少254.6°

跳到 60° 那個巧合回到 45°

正圓的舔痕（伸長程度 0）對這一切無感。這一頁上的每件事，都是「有長軸」的代價。

圖裡的差距就是上面那條公式，在你的瀏覽器裡當場算的，不是查表。把路徑拉到 60°，看標架轉角停在 180.00°，而差距掉到零。

公式還順手給了一件事。把貝塞爾函數對小 $b$ 展開，相減時常數項對消，領先項是二次的：

$$D_\psi^2= \frac{\pi b^2\sin^2\psi}{Z_{a,0}^2} \int_0^{r_c}\chi(r)^2e^{-ar^2}r^4\sin r\,dr +O(b^4).$$

所以差距本身對伸長程度是線性的，它的平方才是二次的。這兩件事分不清，會白花一個下午。寫 $\varepsilon=b/a$，走 45° 的緯線，展開預測領先階是 $1.040885\,\varepsilon$：

$\varepsilon=b/a$	相對差距
0.01	0.008618
0.02	0.017236
0.10	0.086272
0.40	0.350946
0.60	0.539096

最小的那個對比加倍，差距就加倍。數值量到的對數斜率是 0.999973。我想要的是 1。那個縫是積分誤差，很無聊，而它無聊正是我要的。

我罰錯了東西

有了核、有了方向、有了轉角，剩下的看起來只是擬合。我照最直覺的方式擺出目標函數：挑一組候選舔痕，每個給一個非負強度 $\alpha_j$，讓總移除圖案盡量靠近目標場：

$$J(\alpha)=\Big\|\delta_\star-\sum_j\alpha_jK_j\Big\|_2^2, \qquad \alpha_j\ge0.$$

12 個中心，每個 4 個方向，48 個候選，非負最小平方。相對誤差 0.4365。我加方向，我挪中心，怎麼弄都下不了 0.4，一個星期都以為卡住的地方很深。

卡住的地方是：我罰錯了東西。

回頭看常數在做什麼。均勻的一層移除，每一點凹一樣深，它把棒棒糖削成一顆小一點的棒棒糖——而小一點的棒棒糖，形狀是一樣的。零階那個球諧成分根本不屬於這個設計問題。它花糖，不換形狀，是一個免費參數；而我整整一個星期，都在全額擬合它。

真正要管的只有第二階。我那個 0.4365 裡面，有很大一塊是堅持要 $\delta$ 分毫不差地等於 $R_0f\cos^2\theta$；可是要的其實是 $\delta$ 等於 $R_0f\cos^2\theta$ 再加上任意常數。

答案只有一行

把常數從目標裡拿掉，問題就不再是優化，變成一個除法。

關鍵這一步是這樣。目標只依賴 $\theta$，那就找一個也只依賴 $\theta$ 的配方：球面上一個密度 $w$，經度方向均勻，沿著一圈圈緯線舔。把一個痕沿緯線均勻抹開、再把各圈加起來，這就是球面卷積；而球面上的卷積，是一個球諧「音符」一個音符地相乘。若核 $K$ 的第 $\ell$ 階傳遞是

$$k_\ell=2\pi\int_0^{r_c}K(r)\,P_\ell(\cos r)\sin r\,dr,$$

那麼密度的第 $\ell$ 個音符 $w_\ell$，出來就是 $w_\ell k_\ell$。音符彼此不干擾。要第二階對，除以 $k_2$ 就好。

寫 $w=w_0+w_2P_2(\cos\theta)$。第二階對上，需要 $w_2k_2=\tfrac23R_0f$。零階是自由的，那就壓到非負允許的最小：$P_2$ 的最低點是 $-\tfrac12$，所以 $w_0=w_2/2$，於是

$$\boxed{\;w(\theta)=\frac{R_0f}{k_2}\cos^2\theta\;}$$

最佳的舔痕密度，和你要雕的東西同一個形狀。兩極舔得最重，按 $\cos^2$ 遞減，到赤道完全停手，每一圈沿經度平均散開。這樣得到的移除場是

$$\delta(\theta)=R_0f\cos^2\theta+\frac{R_0f}{3}\left(\frac1{k_2}-1\right),$$

目標加一個常數。形狀誤差是零。我拿數值去驗，得到 $4\times10^{-13}$——那就是「零」在雙精度裡的長相。

這個核的 $k_2=0.847721$。²所以配方要移掉 $1/k_2=1.1796$ 倍的體積差：133 立方公釐，而不是 112。多出來的 18% 不算浪費，它全部進到那個常數項；在 20 公釐的糖上，那一項是 4.0 微米。

四微米。你在雕一個 67 微米的特徵，而「做到完全正確」的代價，是成品比理論最小值小了四微米。四微米沒有人會發現。這就是朋友那個問題的答案，而它躲在我眼前一個星期。

三百口

密度還不是策略。你不可能連續地舔，你只能舔有限次。

那就把 $M$ 圈擺在 Gauss–Legendre 的餘緯上，每一圈分到 $\cos^2\theta$ 該給的質量，再平均分給圈上 $n_k$ 口；$n_k$ 跟著圈的周長走，讓各處的重疊差不多。

圈數	口數	形狀誤差
5	126	$1.8\times10^{-1}$
7	192	$1.5\times10^{-2}$
9	258	$4.5\times10^{-4}$
11	316	$5.0\times10^{-6}$
13	384	$3.3\times10^{-7}$

11 圈、316 口，形狀就對到百萬分之五。把公式丟掉，改用非負最小平方重新解一次各圈的質量，解出來的數字和公式對到八位——這才是我真正信的那個檢查。

順帶一提，三百口差不多也就是一支棒棒糖吃完要的口數。這一點我沒有安排。

配方

最佳策略到頭來叫你做什麼

5.0e-6

沿著一圈圈緯線舔。每一圈的總移除量正比於該緯線餘緯的 cos²，再平均分給圈上每一口。拉動滑桿加上更多圈，看實線怎麼貼上虛線。

緯線圈數: 11幾圈夠了

這個配方目標 cos²θ

總共幾口316

形狀誤差4.96e-6

相對於最少量的移除量1.180×

額外均勻移除0.0599

11 圈、316 口，形狀誤差 5.0e-6。實線比虛線高出一個常數，而常數恰好是唯一不要緊的東西：它只把棒棒糖整體削小，不動形狀。也正因為這段常數，配方的總移除量是體積差的 1.180 倍。 赤道那一圈分到零，所以沒有畫出來。

先猜一猜：幾圈才夠？再把滑桿拉到 11 圈，看實線怎麼貼上虛線，中間只差一個往上的平移。那個平移就是整篇的重點。

長軸到頭來值多少？

我本來以為方向控制會在這裡回本。結果剛好相反。

把橢圓的痕放回一圈圈的配方裡。上面那個解析解假設核是圓的，因為圓核才讓「一圈一圈加起來」真的是卷積。斜的橢圓不是：有效的第二階傳遞現在同時看圈的餘緯和長軸的傾角 $\beta$，長相是 $\bar k_2(\theta)+\Delta(\theta)\cos2\beta$。餘緯 45° 的圈上，長軸沿經線每一口給出 0.2234 的第二階反應，沿緯線只有 0.1871。經線贏 19%。

然後真的拿去擬合，經線這條規則輸得很慘。

每個位置的痕	口數	形狀誤差
只一種傾角，沿經線	200	$2.8\times10^{-2}$
四種傾角 0/45/90/135°	1264	$1.1\times10^{-3}$
八種傾角	2528	$4.1\times10^{-5}$
正圓	316	$5.0\times10^{-6}$

固定一種傾角，每一口都留下 $m=2$ 的角向成分。目標裡沒有 $m=2$，11 個圈的強度抵銷不掉。加到 21 圈呢？也只到 $1.8\times10^{-2}$。這是地板，不是收斂速度。

四種傾角等量混合，第 2、4、6 階恰好消光（四個相位加起來是零，除非階數是 8 的倍數），第一個倖存者是 $m=8$，大小是核的 $5.6\times10^{-4}$。而這，正好就是表裡那個誤差的量級。八種傾角把倖存者推到 $m=16$，誤差再掉二十五倍；到那時候，拖後腿的是圈距，方向性已經不重要了。

長軸該拿來做什麼

在這裡，方向性最好的用途是把自己抵銷掉

1.1e-3

同樣十一圈、同樣的目標、同樣的非負擬合。唯一的差別，是每個位置允許用幾種傾角。傾角越多，每一口越不划算，但答案越好。

只用一種：沿經線四種傾角八種傾角正圓的舌頭

形狀誤差1.07e-3

口數1264

殘存的最低角向階m = 8

相對於正圓的誤差215×

0°、45°、90°、135° 等量混合，恰好消掉第 2、4、6 角向階。第一個倖存者是 m = 8，而這裡的誤差就正好由那點殘留決定。

四種傾角平均起來的痕，角向上恢復了旋轉對稱，徑向上卻胖了一點——側面被抹進一個 $I_0$ 因子——所以 $k_2$ 從 0.847721 降到 0.820925，糖要多花，從 1.1796 倍變成 1.2181 倍。這才是「有長軸」的真正代價：形狀沒有變差，只是多吃了糖。

所以，面對一個這麼平滑、這麼對稱的目標，方向性是負債；一條會轉的舌頭，最好的用法是設法把自己的方向抵銷掉。這不是我預期的結果，而它能推廣到多遠，我想講得保守一點：一個只有第二階、只依賴餘緯的目標，已經是最和善的一種要求。換一個真有方向結構的目標，帳就倒過來算了。

那麼，如果你偏要沿經線呢？舌頭只有一條，形狀只有一種，這個選擇是很現實的。可是要讓長軸一路沿著經線，代價不是零。餘緯 $\theta$ 的緯線，測地曲率是 $\cot\theta$，每一弧度經度走 $\sin\theta$ 的弧長，於是壓住方向要主動扭

$$\frac{d\beta}{d\varphi}=\cos\theta$$

一整圈就是 $2\pi\cos\theta$，45° 時是 254.56°。而你不出的那一份，曲率替你出：剩下的 $2\pi(1-\cos\theta)$ 就是和樂，105.44°，和前面那個數字一模一樣。

也就是 Foucault 那條擺。緯度 $\varphi$ 等於餘緯 $\theta$ 的餘角，所以擺每天相對地面轉的 $360^\circ\sin\varphi=360^\circ\cos\theta$，正是你壓住長軸必須自己扭的那一份；剩下的 $360^\circ(1-\cos\theta)$ 是曲率收走的。和樂公式不是這個問題旁邊的一件奇觀，它是控制律裡的那一項修正。帶一條有方向的舌頭繞緯線舔，你要嘛每弧度付 $\cos\theta$，要嘛接受 $2\pi(1-\cos\theta)$ 的漂移，沒有第三條路。球是彎的。

我到底檢查了什麼

我做了三件檢查。前兩件是例行公事：用四階 Runge–Kutta 把平行移動方程積出來，步長逐次減半，誤差按四次方掉，20,000 步的結果和解析角差 $8\times10^{-13}$ 弧度；貝塞爾那條一維公式和直接在徑向、角向網格上硬積的結果，兩套獨立的歸一，表裡最大的差距小於 $1.3\times10^{-14}$——那是雙精度在抱怨，不是兩者不合。第三件才是我真正在意的：檢查非負最小平方的最優條件，再把同一組強度搬到更細的球面網格上，看改善會不會消失。沒有消失。

這些檢查撐不起來的，是「路線」。配方是一張空間的處方：舔這裡、舔這麼重、舔這麼多次。它沒有說先後次序，而帶著方向性的舌頭，次序是會算帳的——平行移動會改變你手上的箭頭，於是改變第一口之後的每一口。一個每次接觸都把自己方向歸零的工具，可以讓這筆歷史帳消失。舌頭不行。

球面小波、切向標架、平行移動、和樂，都是既有的幾何。規範等變卷積和流形上的平行移動卷積，早就處理過「濾波器方向沿曲面怎麼改變」。讓整個答案塌成一個除法的那件事，比它們都老：Funk–Hecke 定理，一九一六年，說的正是「軸對稱的核作用在每個球諧上只是乘一個數」，而那個數就是上面的 $k_\ell$。至於表面拋光那一行——玉石研磨的師傅大概比誰都早知道——文獻裡也早有橢圓接觸與工具路徑影響移除量的實驗。我沒找到有人寫過的，是中間這座橋：把常數從目標裡拿掉之後，$\cos^2\theta/k_2$ 這個密度就是精確的非負最佳解；這個核的方向反應可以壓成一條一維積分；180° 的例外；以及四種傾角在第七階以下都是旋轉對稱的，而這正是它們有效的原因。

技術論文在這裡，程式可以重現上面每一個數字；跑策略的那支是 code/optimal_strategy.py。

所以，舔得成嗎？

舔得成。一圈一圈地舔，兩極最重，按 $\cos^2\theta$ 遞減，赤道停手，大約三百口，舌頭保持圓的，或者保持一直在轉。你會比最少量多舔掉 18%，成品小四微米，形狀對到百萬分之五。

我一開始錯的不是算術，是以為答案住在「多少」裡面。多少只是一個數，而且是整個問題裡最不有趣的那一個。真正有內容的都在第二題；至於第三題，到頭來講的是曲率為「你有一個偏好方向」這件事開給你的帳單。

那顆地球儀還是斜斜地立在教室裡，扁得看不出來。親愛的讀者，你想，Levi-Civita 當年要是先看過那條擺，會不會早幾年寫下平行移動呢？

Footnotes

1. $f$ 的第二階會冒出一個 $\cos^4\theta$ 項，係數是 $-\tfrac32f^2R_0$，也就是把第四階帶進目標。上面那套方法照樣能用，不必改：密度多加一個 $P_4$ 音符，除以 $k_4=0.575122$ 就是了。這個修正在 20 公釐的糖上是 0.34 微米。我提它，只是要你知道取一階是一個選擇，不是一個限制。 ↩

2. $k_2$ 只看痕有多寬。舌頭越窄，越接近一個 delta 函數，抹平得越少，$k_2$ 就越靠近 1：$a=64$ 時是 0.955354，多花的糖降到 4.7%。寬舌頭的代價，完全是糖的代價——代價能只是這樣，算是很幸運了。 ↩